I. 서론

記述統計學 (Descriptive Statistics)

1. 통계학의 정의

Statistics is concerned with the scientific methods for collecting, organizing, summarizing, presenting and analyzing data, as well as drawing valid conclusions and making reasonable decisions on the basis of such analysis.

Status (=state): 중세 라틴어로 國家, 狀態 ,記述을 의미. 국가와 같은 집단의 상태를 기술.

국가성립 = 통계학 발달.

독일  : H.Conring(17c.), 國狀學 [국가의 현저한 사항(토지 인구 재정 병력)의 수량적 표현]

영국  : J.Graunt, W.Petty, Political Arithematics : 社會 大數法則의 경험적 발전

프랑스: 고전확률론. 게임(도박)확률계산 수학적 취급,

Pascal, Bernoulli, “law of large numbers"

Laplace 고전 확률론 집대성, A.Quetelet (1796-1874) 통합, 근대통계학 창시자.

인간사회의 해석에 자연주의적 결정론의 생각 과용 (예:범죄발생율 규칙성발견 --> 예정된 범죄?) 平均人(average man) 이론 : 평균인=이상인(신장 ,체중, 도덕성 등) : 산술평균 중심의 기계적 유물론의 통계학 --> 정확한 양적 기술 --> K.Pearson 기술통계방법 정밀화

현대통계학 : W.Gosset, 소표본 처리방법 --> 생물통계 --> R.A.Fisher,  추측통계학 (=실험 자료로부터 모집단에 관하여 추측하는 것이 연구 목적) 발전, 표본조사법 발전,

1930년대 가설검정, 구간 추정법 연구 ==> 불확실한 상황에서 현명한 의사결정을 위한 행동의 논리를   연구하는 학문.

국장학파	:  비교 표시 수량적 표현 ------------------------> 명칭

정치산술학파	:  수량적 관찰, 대량관찰, 초보적 추산 --------------> 대상

고전확률론	:  우연의 세계 처리하는 도구로 확률론 사용 ----------> 방법론적 기초

통계자료(=여러 가지 복합적 요인의 결과를 나타내는 사실, 수치)를 분석 처리하여 그 속에 담긴 정보를 추출할 수 있는 방법체계를 연구:

(제한된)부분 정보 --> (가능한 한 정확한) 전체 판단

정확성 + 경제성 --> 최선의 판단.

통계학적 추론방법 = 표본을 바탕으로 한 歸納的(inductive) 推論; 여기에는 항상 오차가 수반.

통계적 추론과정에는 여러 가지 오류의 함정 : 잘못된 모집단 설정; 부적절한 표본추출; 잘못된 계산;   부적절한 기법 선택; 相關관계와 因果관계의 혼돈.

數理統計學 : 통계학적 방법론의 이론적 근거를 수학적으로 유도 --> 이론 체계화 : 순수과학

應用통계학 : 유도 정리된 통계학 이론 기법 응용하여 현실문제에 관한 최선판단 : 경제통계학

경제이론의 경험적 검증에 있어서 통계학이 분석도구로 사용 : 경제학의 주요 개념(용어)들은    定量的 (quantitative)이므로 통계학 결합용이.

경제통계학의 내용 : 계량경제학(모수 통계적 추정; 경제변수간 관계 가설검정 --> 현실자료와    의 적합성 여부 결정; 경제모형에서의 계수 추정)을 위한 기초 과정으로서 다음과 같이 구성:

確 率 論 : 추정 검정의 기본분석개념인 확률밀도함수, 분포함수;

標本理論 : 표본추출방법, 표본분포의 특성;

推定理論 : 모수 추정방법, 통계학적으로 바람직한 특성설정;

檢定理論 : 모수에 대한 가설을 표본에서 관찰된 추정량을 중심으로 기각 채택하는 과정;

回歸分析 : 경제변수간의 관계를 통계적으로 추정 검정하는 과정 ==> 計量經濟學

계량경제학(Econometrics) : 경제학+통계학+수학

2. 용어

(1) 자료의 정의

母集團(Population, Universe) : 推論의 대상이 되는 전체모임에 대응하는 측정값

(또는 특성에 관한 기록)의 모임

標本(Sample) : 조사과정에서 얻은 측정값

母數(Parameter, summary measure) : 모집단의 특징을 요약하고 있는 특성치

標本統計量(Sample statistic) : 표본으로부터 계산된 값

資料(Data) : 어떤 결론이 얻어질 수 있는 사실이나 수치(결합).

要素(Element) : 자료를 구성하는 기본적인 사항

變數(Variable) : 여러 가지의 다른 값을 취할 수 있는 특성

量的變數(Quantitative variable) : 수치적 특성을 가지는 변수

ㆍ離散的(Discrete) 變數 : 취할 수 있는 값의 종류가 유한하거나, 셀 수 있는 경우

counting (enumeration)

ㆍ連續的(Continuous) 變數 : 어느 구간 내의 모든 연속적인 값을 취할 수 있는 경우

measurement

質的變數(Qualitative variable) : 비수치적 특성(non-numerical entities)을 가지는 변수

(2) 자료의 모집

자료의 출처(source)에 따라 일차적(primary)자료와 이차적(secondary)자료로 구분. 일차적 자료는 특별한 연구목적을 위해 출처로부터 직접 얻어진 자료이며, 이차적 자료는 다른 사람에 의해 이미 만들어져 있는 자료.

	일차적(primary)자료	이차적(secondary)자료
장점	원하는 자료를 정확히 수집	저렴한 비용으로 자료를 얻음
단점	비용과 시간 소요	자료가 연구목적에 부적합 정의상의 차이, 측정단위나 기간의 차이, 자료의 정확성 평가곤란

(3) 일차적 자료의 모집방법

1) 觀察法(observation)

조사대상에 대한 질문을 요구하지 않음. 동물행동, 어린이 행동 관찰에 적합.

있는 그대로의 자료수집가능 (여과 filtering 가능성 배제).

단점 : 관찰자는 사건 발생시 현장에 있어야 한다; 자료수집을 위한 비용 문제, 자료수집과정    시간 소요; 동기파악 등 심층분석에는 부적합.

관찰은 특히 探索段階(exploratory stage)에서 많이 이용된다.

2) 質問法 (questioning)

a) 개인면접법(personal interviewing)

깊이 있고 상세한 정보 얻음. 시간과 비용 문제. 면접자의 질문태도에 따라 응답자의 응답      에 영향을 미침 -> 면접기술이 요구됨: rapport 중요.

b) 우편조사법(mail interviewing)

낮은 응답율(일반적으로 30% 회답율). 정보의 유형과 양이 제한.

c) 전화조사법(telephone interviewing)

저렴한 비용. 정보의 양은 극히 제한. 개인면접의 어려움으로 이용증대.

3) 질문지 작성법

a) 작성단계:

필요한 정보의 결정: 기본문제 -> 세부문제로 계층화(hierarchy). dummy table로 정보의         수집여부를 확인

자료수집절차의 결정: 개인면접, 우편조사, 전화조사 등의 방법에 따라 질문구조와 응답의        구조에 차이가 난다.

질문지의 설계: 논리적 일관성 있게 실제 문항작성. 질문의 순서에 유의.

예비 테스트: 질문초안 작성후 본 조사이전에 일부선택하여 실시. 뜻이 불분명하거나 고쳐        야 할 문항을 수정.

b) 질문지의 설계: 문항작성시 유의사항

문항을 명확히 표현

편의(bias:偏倚)가 발생하지 않는 문항을 구성

직접적인 질문의 적정성을 고려

질문의 유형을 적절히 선택

논리적이고 일관성있는 질문의 순서

c) 질문지 작성의 사례

(4) 조사(Survey)와 실험(Experiment)

1) 調査法(Survey method)

조사란 연구대상변수에 영향을 미치는 어느 因子(factor)에 대해여도 統制(control)를 하지 않은 채 자료를 얻는 방법이다.

全數調査(total enumeration, census)와 표본조사(sample survey)

2) 實驗

실험이란 특정인자가 연구대상변수에 미치는 영향을 측정하고 분석하기 위하여, 하나 또는 그 이상의 인자에 대하여 통제하고 필요한 자료를 얻는 방법이다.

예: 추가적인 OJT(On-the-Job-Training)와 생산성의 관계를 알기 위하여 근로자의 일부에게는 교육훈련을 시키고 나머지 일부에게는 교육훈련을 시키지 않고 이들 두 집단간의 생산성을 비교하는 경우.

3) 조사와 실험의 선택

실험자료가 조사자료보다 더 직접적으로 확신을 줄 수 있지만, 경제, 사회과학 분야의 통계분석의 대부분은 조사자료에 의존한다. 이유는 i) 대부분의 사용가능 자료는 조사자료이고; ii) 사회과학의 경우 변수에 대한 통제가 곤란하다. (예: 가족수와 저축의 관계?)

(5) 자료의 측정

연구대상의 특성을 측정하는 데 있어서 尺度(scale)를 만들어 사용한다.  실제 관찰값을 어떻게 수치와 대응시키느냐에 따라 여러 가지 척도를 생각할 수 있다.

척도종류		적용 예		중심경향치
名目척도 (nominal)	자료를 相互排他的이고 包括的인 範疇로 분류	종교성향의 분석	순서, 거리 및 원점의 개념이 없다.	최빈치
序列척도 (ordinal)	移行性(transivity)특성, 서열만 가짐	의견이나 선호도 측정	명목척도에 순서(서열)의 개념을 부여	중앙치
區間척도 (interval)	“0”의 개념 임의로 정함	시간, 온도	거리(간격)의 개념 부여	산술평균
比率척도 (ratio)	변수의 실제수치를 표현. 실수의 모든 계산이 가능	신장,거리,면적, 인구, 수익률	“0”(원점)의 실제적 의미부여	산술,기하, 조화평균

(6) 시계열자료와 횡단면자료

when data are grouped (organized) according to:

time of occurrence --> time series data

geographic location --> cross-sectional (spatial distribution) data

cf. Pooled data : 통합자료

II. 자료의 분류

1. 질적 자료의 분류(Qualitative distribution)

질적 분포란 자료를 비수치적인 특성(예, 직업 등)에 의하여 분류하여 정리해 놓은 표이다. 질적 분포를 만드는데 있어서 자료의 분류 (계급 또는 범주)는 서로 상호배타적이고 포괄적이어야 한다는 요건을 만족하여야 한다.  질적 분포를 그림으로 나타낼 때에는 막대그림표(Bar chart)를 이용한다.  막대는 길이에만 차이가 있고 넓이에는 차이가 없다. 각 계급을 구분하기 위해 막대사이에 공간을 둔다. 분석의 편의상 막대는 크기의 순서로 배열한다.

2. 度數分布(Frequency distribution)

도수분포는 자료를 양적(수치적) 특성에 의해 분류하여 정리해 놓은 표이다.  각 계급에 해당하는 관찰 수를 도수(frequency)라 하고, 전체도수 중 각 계급의 도수가 차지하는 비율(%)을 相對도수 (relative frequency)라 한다.  각 계급들은 서로 상호배타적이고 포괄적이어야 한다

(1) 도수분포표의 작성

raw data --> ordered array --> range --> frequency table : class intervals; class limits; class boundaries (true class limits); size of class interval (width); class mark.

1) 계급의 수

계급의 수 ↑ → 상세한 정보(내용); 자료요약 효율성 ↓

계급의 수 ↓ → 정보압축으로 분포모양 알기 힘들다. 보통 4-20개 정도.

* Sturges의 공식:  [eqn: K=1+ {log _{10} n} over {log _{10} 2} =1+3.32(log _{10} n)] ;

계급 폭(구간) [eqn: W=R/K],   [eqn: K=]계급의 수

2) 계급의 구간

계급의 수 ↓ → 계급의 구간 ↑

구간 결정의 기본원칙은 모든 구간의 너비가 같아야 한다는 것이다.

3) 계급의 한계치

각 계급을 대표하는 값으로 계급의 중간점(midpoint)을 이용. 중간점은 한 계급의 상한치와 하한치의 가운데 점을 말한다.

4) 도수분포표의 작성순서

- 범위를 구함 (최대값-최소값)

- 적절한 계급 수를 정함

- 중복되지 않게 동일 간격의 계급구간을 설정

- 계급은 누락 없이 연속적으로 표시

- 각 계급의 도수를 구함

- 상대도수를 계산

(문제 1) raw data : 어느 집단(100명)의 연령분포가 다음과 같다:

60  39  23  30  29  26  29  41  40  32  63  22  32  52  46  35  25  28  33  33

20  25  42  34  29  43  41  31  30  36  58  21  24  55  51  28  18  40  44  38

32  21  30  31  25  49  31  26  33  36  43  34  35  22  33  38  34  34  33  34

23  26  57  23  26  36  39  31  35  39  34  51  40  50  35  45  28  36  32  30

26  48  17  45  45  25  25  30  36  30  43  25  27  21  53  25  38  33  37  33

n=100에 대하여 도수 분포표를 작성하고 중간계산과정을 제시하면 다음과 같다:

----------------------------------------------------------------------

나이1)   도수  누적(미만)  [eqn: x _{i}]2)    [eqn: f _{i}]     [eqn: x _{i} f _{i}]      [eqn: x _{i} ^{2}]     [eqn: x _{i} ^{2} f _{i}]     [eqn: u _{i}]3)    [eqn: u _{i} f _{i}]    [eqn: u _{i} ^{2} f _{i}]

----------------------------------------------------------------------

15-19	2	2       17      2	34      289	578     -3	-6     18

20-24	10	12       22     10	220      484	4840     -2    -20     40

25-29     19	31       27     19	513      729	13851     -1    -19     19

30-34     27	58       32     27	864     1024	27648      0	0	0

35-39     16	74       37     16	592     1369	21904      1	16	16

40-44     10    84       42     10    420     1764   17640      2     20	40

45-49      6    90       47      6	282     2209   13254      3	18	54

50-54      5    95       52      5	260     2704   13520      4	20	80

55-59      3    98       57      3	171     3249    9747      5	15	75

60-64      2   100       62      2	124     3844    7688      6	12	72

----------------------------------------------------------------------

Total     100   100                    3480   17665   130670           56     414

----------------------------------------------------------------------

주: 1) 연속적 자료에 대한 정확한 계급구간은 상하한치를 소숫점이하의 수로 설정하여 다음과 같이 둔다; [eqn: 14.5 <= x _{1} <19.5,]  [eqn: 19.5 <= x _{2} <24.5], ...... , [eqn: 59.5 <= x _{10} <64.5.]

2) 각 계급의 대표치로서 even distribution을 가정하고 각 계급구간의 mid-points를 이용        한다.

3) 자료의 linear transformation : [eqn: u _{i} =(x _{i} -x ^{*} )/w],

여기에서 [eqn: x ^{*}]는 가평균 (guessed(assumed) mean), [eqn: w] 는 계급폭(width)을 나타낸다.

먼저 원자료(raw data)를 크기 순서로 나열(ordered array)하면, 범위(range)는 63-17=46 이다.

(2) 도수분포의 그림표

도수분포를 그림으로 나타내는 방법은 히스토그램(histogram)과 꺽은선 그림표(frequency polygon)가 있다.

(3) 누적 도수분포(cumulative frequency distribution)

`누적도수분포는 도수분포의 도수를 누적하여 나타낸 표로서 이를 이용하여 전체 자료 중 어떤 기준값보다 크거나 또는 작은 자료의 비율이 어느 정도인지를 알 수 있다. 누적도수분포를 그림으로 나타낸 것을 누적도수다각형(ogive)이라고 한다.  한편, 이산적인 성격을 가진 자료릐 누적도수분포를 그림으로 나타낼 때에는 점들을 직선으로 연결하지 않는다. 정수값만 취하므로 그림표는 각 정수에서 계단식으로 올라가는 형태를 취한다.

(4) 다변량(multivariate) 자료의 분류

다변량자료를 두 개 이상의 특성에 의해 분류한 표를 交叉製表(cross-tabulation)라고 한다.

2변량 도수분포표(bivariate frequency distribution)

III. 자료의 요약

1. 集中化 傾向

자료의 요약이란 자료의 분포가 가지고 있는 중요한 특성을 수치로 나타낸 것이다. 集中化傾向(central tendency)은 자료가 어느 위치를 중심으로 분포되어 있는가를 나타내며, 散布度(dispersion)는 자료가 흩어져 있는 정도를 나타낸다. 그 밖에 非對稱度(skewness)와 尖度(kurtosis) 등이 있다.

(1) 平均 (算術평균: mean, arithematic mean)

1) 평균의 계산

모 평 균 : [eqn: mu `=` {(X _{1} +X _{2} +...+X _{N} `)} over {N} `=` {sum _{i=1} ^{N} X _{i}} over {N}]

표본 평균: [eqn: bar{X} `=` {(X _{1} +X _{2} +...+X _{n} `)} over {n} `=` {sum _{i=1} ^{N} X _{i}} over {n}]

2) 加重평균(weighted mean)의 계산

[eqn: mu `=` {(f _{1} ` mu _{1} +f _{2} ` mu _{2} +...+f _{k} ` mu _{k} `)} over {N} `=` {sum _{i=1} ^{k} f _{i} ` mu _{i}} over {N}]

[eqn: N] : 자료집단의 크기

[eqn: k]  : 부분집단의 개수	[eqn: f _{i}]  : 각 부분집단의 항목수

[eqn: mu _{i} `] : 각 부분집단의 평균	[eqn: mu]  : 전체 평균

3) 도수분포에서의 평균계산

[eqn: mu ``` CONG `` {(f _{1} `m _{1} +f _{2} `m _{2} +...+f _{k} `m _{k} `)} over {f _{1} +f _{2} +...+f _{k} `} `=` {sum _{i=1} ^{k} f _{i} `m _{i}} over {N}]

[eqn: k]  : 계급의 개수

[eqn: m _{i}] : 각 계급의 중간점(mid-point)

[eqn: f _{i}]  : 각 계급의 빈도수

4) 折捨평균(trimmed mean)

산술평균은 특이값(outlier : 예외적으로 아주 크거나 아주 작은 값)에 의해 큰 영향을 받으므로, 집중화경향을 나타내는 대표치로 간주하기는 어렵다. 50% 절사평균이란 자료를 크기 순으로 나열했을 때 가운데 50%에 위치하는 항목들의 산술평균을 말한다.

예; 1,1,2, 2,3,4,5,6,6, 7,7,100             평균=12;       50% 절사평균=4.333

(2) 中央値(median)

자료의 분포가 비대칭이거나, outlier 존재 시에는 산술평균을 대표치로 간주하기는 부적합하다. 이러한 경우 중앙치가 유용하게 사용된다.

1) 중앙치의 계산

n 개의 자료를 크기 순으로 나열했을 때 (n+1)/2 번째의 관찰치가 중앙치가 된다.

2) 도수분포에서의 중앙치 계산

30번째 항목이 속하는 계급

n=59 이므로 중앙치는 30번째 항목이 된다.

중앙치 = 10 + (2/15)10 =11.3

계 급	도수	누적도수
0-10미만 10-20미만 20-30미만 30-40미만 40-50미만	28 15 8 5 3	28 43 51 56 59
합계	59

[eqn: M _{d} `` CONG ``L`+`( {n _{1}} over {n _{2}} ) CDOT I]

[eqn: L] : 중앙치가 속하는 계급의 하한치

[eqn: n _{1}] : 중앙치가 속하기 이전 계급의 누적도수에서 중앙치에 해당하는 항목까지의 항목 수

[eqn: n _{2}] : 중앙치가 속하는 계급의 도수(항목 수)

[eqn: I]  : 계급구간의 너비(width)

* Linear Interpolation Technique (線形補間(補揷)法)의 이용

(3) 最頻値(mode)

최빈치는 가장 빈도가 많은 관찰값을 말한다.

unimodal and biomodal distribution

단봉분포 또는 쌍봉분포를 하는가는 자료의 성격을 분석하는 데 도움이 된다. 예를 들어 형광등 수명의 분포가 쌍봉분포를 따른다면 이는 서로 다른 두 작업반에서 사용하는 원료의 차이 등에 기인하는 것으로볼 수 있다.

* Geometric Interpretation of  Mean, Median and Mode :

* K. Pearson : 경험적 사실에 근거한 근사치 공식, [eqn: mu -M _{o} CONG 3( mu -M _{d} )]

(4) 百分位數(percentiles)

자료를 100등분 하는 수의 값을 백분위수라고 한다.  어느 학생의 TOEFL 점수가 580점으로 89백분위수라고 한다면, 이는 전체 시험응시자 중 89%가 580점보다 낮거나 같고, 나머지 11%가 580점보다 높거나 같음을 의미한다.

* 사분위수 (quartile):

제1사분위수(=제25백분위수), 제2사분위수(=중앙치), 제3사분위수(=제75백분위수)

예) 10명 임금자료 : 619, 648, 649, 651, 659, 662, 663, 665, 668, 671.

제 1 사분위수 위치 =[eqn: {N} over {4} + {1} over {4} = {10} over {4} + {1} over {4} =2.75]번째;

제 1 사분위수 = 648+0.75(649-648)=648.75

제 3 사분위수 위치 = [eqn: {3N} over {4} + {1} over {4} =7.75]번째;

제 3 사분위수 = 663 + 0.75(665-663) = 664.5

(5) 조화평균 (調和平均:harmonic mean) :

기존 변수의 역수를 취하여 산술평균을 구한 다음, 다시 그 값의 역수를 취함으로써 대표치를 구할 필요가 있다.

[eqn: M _{h} = {1} over {{1} over {N} ( {1} over {X _{1}} + {1} over {X _{2}} +...+ {1} over {X _{N}} )} = {N} over {sum _{i=1} ^{N} {1} over {X _{i}}}]

예) Z-car 리터 당 주행거리 확인 : 고속도로 100Km, 도심지 100km 시험주행 결과, 고속도로 14km/l, 도심지 10km/l. 전구간 리터당 평균주행거리?

총 소모연료 =[eqn: ( {100} over {14} + {100} over {10} )리터],  따라서 전 구간에서의 리터 당 평균주행 거리는

[eqn: {200} over {100/14+100/10} = {2} over {1/14+1/10} =11.67.]   [eqn: (M _{h} = {N} over {1/X _{1} +1/X _{2}} )]

(6) 기하평균 (幾何平均:Geometric mean) :

구간이나 항목으로 구분되기 곤란한 경우의 자료들;

예) 물가상승율, 인구증가율 등의 일정 기간에 발생한 변화율들의 단위기간(보통 1년)당

평균변화율.

산술평균 적용 곤란 (변화율의 기준이 서로 다르므로):

변화율 = 변화량/기준연도의 값      [eqn: M _{g} =` ^{N} sqrt {X _{1} X _{2} ...X _{N}} =` ^{N} sqrt {prod _{i=1} ^{N} X _{i}}]

예를 들어, [eqn: P _{0} ,P _{1} ,.....P _{10}]: 1980년말 - 1990년말 물가수준; [eqn: r _{1} ,r _{2} ,.....r _{10}] : 매년의 물가 상승율이라고 하자. 그러면,

[eqn: r _{1} = {P _{1}} over {P _{0}} -1,] [eqn: r _{2} = {P _{2}} over {P _{1}} -1,]....., [eqn: r _{10} = {P _{10}} over {P _{9}} -1]

[eqn: P _{1} =P _{0} (1+r _{1} ),]   [eqn: P _{2} =P _{1} (1+r _{2} )=P _{0} (1+r _{1} )(1+r _{2} )],................,

[eqn: P _{10} =P _{9} (1+r _{10} )=P _{0} (1+r _{1} )(1+r _{2} ).....(1+r _{10} )]

기간중 연평균상승율을 [eqn: r```]이라 하면; [eqn: P _{10} =(1+r) ^{10} P _{0}]  또는 [eqn: (r+1) ^{10} = prod _{} ^{} (1+r _{i} )],

[eqn: (i`=`1,2,...,10`)].  따라서 [eqn: (r+1)=` ^{10} sqrt {prod _{i=1} ^{10} (1+r _{i} )}]

예) 1981-1991년 소매물가지수 (86.2 92.3 95.4 97.6 100.0 102.8 105.9 113.4 119.9 130.2 142.8)

[eqn: r _{1} = {1982년물가지수} over {1981년물가지수} -1= {92.3} over {86.2} -1=0.071]  같은 식으로 [eqn: r _{2} .....r _{10}] 을 구하면 각각

0.023, 0.025, 0.028, 0.030, 0.071, 0.057, 0.086, 0.097이 된다.

10년간의 연평균 물가상승율을 [eqn: r]이라고 두면 위 식에서 [eqn: (r+1)=` ^{10} sqrt {PI (1+r _{i} )}]  또는

[eqn: log(r+1)= {1} over {10} sum _{i=1} ^{10} log(1+r _{i} )] 가 된다.  따라서

[eqn: log(r+1)= {1} over {10} [log1.071+log1.023+....+log1.097]=0.0219]

상용대수표에서 상용대수값이 0.0219인 진수값을 찾으면 1.052 정도가 된다.

즉, [eqn: log(r+1)=log1.052]  따라서 [eqn: r+1=1.052], [eqn: r=0.052]이므로 10년간 연평균상승율은 약    5.2%임을 알 수 있다.

한편, 초기연도와 말기연도만을 고려하여 산출한다면; 1981년도 물가지수[eqn: (P _{0} )] 가 86.2, 1991년도 물가지수[eqn: (P _{10} )]가 142.8이므로 [eqn: (r+1) ^{10} = {P _{10}} over {P _{0}} = {142.8} over {86.2} =1.66].  양변에 상용대수를 취하면;

[eqn: 10log(r+1)=log1.66=0.2201] 이 되므로, 따라서 [eqn: log(r+1) CONG 0.022]

위와 마찬가지로 [eqn: log(r+1)=log1.052] 가 되므로  [eqn: r=0.052.]

* [eqn: Mean >= M _{g} >= M _{h}]

2. 산포도

예를 들어, 평균은 같으나 자료가 흩어져 있는 정도가 다른 두 개(이상)의 분포의 차이를 반영하기 위해서는 다음을 이용한다.

(1) 範圍(range)

범위는 가장 단순한 방법으로 자료의 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이를 말한다. 사분위수범위(interquartile range)는 제1사분위수와 제3사분위수의 차이를 말한다.

(2) 分散(variance)

산포도를 측정하는 방법 중 가장 많이 쓰이는 것.  모든 관찰값을 이용하여 자료의 변이성(variability)을 수치로 계산한 것.

1) 분산의 계산

모집단의 분산 : [eqn: sigma ^{2} `=` {(X _{1} - mu ) ^{2} +(X _{2} - mu ) ^{2} +...+(X _{N} - mu ) ^{2}} over {N} `=` {sum _{i=1} ^{N} (X _{i} - mu ) ^{2}} over {N}]

표본분산 : [eqn: s ^{2} `=` {(X _{1} - bar{X} `) ^{2} +(X _{2} - bar{X} `) ^{2} +...+(X _{n} - bar{X} `) ^{2}} over {n-1} `=` {sum _{i=1} ^{N} (X _{i} - bar{X} `) ^{2}} over {n-1}]  또는

[eqn: s ^{2} `=` {sum _{i=1} ^{n} X _{i} ^{2} - {( sum _{i=1} ^{n} X _{i} ) ^{2}} over {n}} over {n-1}]

2) 도수분포에서의 분산계산

[eqn: sigma ^{2} `` CONG `` {sum _{i=1} ^{k} f _{i} `(m _{i} - mu `) ^{2}} over {N}]    또는     [eqn: sigma ^{2} `` CONG `` {sum _{i=1} ^{k} f _{i} `m _{i} ^{2} - {( sum _{i=1} ^{k} f _{i} `m _{i} `) ^{2}} over {N}} over {N}]

[eqn: k] : 계급의 수

[eqn: f _{i}] : [eqn: i] 번째 계급의 도수

[eqn: m _{i}] :[eqn: i] 번째 계급의 중간점

[eqn: N]  : 전체 자료의 수

(3) 標準偏差(standar deviation)

앞에서 구한 분산은 단위가 원래 자료의 제곱이므로 본래의 단위로 환산시킬 필요가 있다. 이를 위해 분산의 제곱근을 구하는데, 이를 표준편차라고 하며 산포도를 측정하는 주요 방법의 하나로 자주 이용된다.

1) 표준편차의 계산

모집단의 표준편차 :  [eqn: sigma `=` sqrt {{sum _{i=1} ^{N} (X _{i} - mu ) ^{2}} over {N}}]    표본의 표준편차 :    [eqn: s`=` sqrt {{sum _{i=1} ^{n} (X _{i} - bar{X} `) ^{2}} over {n-1}}]

2) 체비셰프 부등식(Chebyshev inequality)

자료의 분포모양이 정확히 알려져 있지 않더라도 평균과 표준편차를 알면 체비셰프 부등식을 이용하여 분포에 대해 어느 정도 알 수 있다.  즉, 어떤 자료에서든 평균으로부터 [eqn: ±k``] 표준편차 범위를 벗어나는 자료의 비율은 많아야 [eqn: 1/k ^{2} ``] 이다. 단, [eqn: k``] 는 1보다 큰 양수이다.

즉, 전체 자료 중 최소한 [eqn: (1- {1} over {k ^{2}} ) TIMES 100%``]의 관측치는 평균으로부터 [eqn: k`] 표준편차 이내의 범위에 위치한다는 것이다.

예: 학생들의 방학 아르바이트 소득금액 조사 결과가 다음과 같다:

최대치 52만원, 최소치 17만원, 평균 25만원, 중앙치 23만원, 표준편차 3만원.

학생 중 34만원 이상 벌거나 16만원 이하 번 사람의 비율은 얼마인가?

(34-25)/3=3, (16-25)/3=3.  따라서 [eqn: k`=`3]. 그러므로 비율은 많아야 [eqn: 1/(3) ^{2} =1/9] 이다.

(4) 평균편차(mean deviation)

평균과 각 관찰치 간의 차이인 편차(deviation)를 계산하면, 이로부터 자료가 퍼져 있는 정도를 나타내는 단일계수를 찾을 수 있다.  가장 쉬운 방법은 편차들의 절대값의 평균을 구하는 것이다.  다음과 같이 정의한다.

[eqn: m.d```=` {sum _{i=1} ^{N} vert X _{i} - mu ` vert } over {N} `=` {sum _{i=1} ^{N} vert d _{i} ` vert } over {N}]

* [eqn: sum _{} ^{} `d _{i} `=` sum _{} ^{} (X _{i} - mu )`=` sum _{} ^{} X _{i} -N` mu `=`N`( {sum _{} ^{} X _{i}} over {N} - mu `)`=`N`( mu - mu `)`=`0]

(5) 變動係數 (coefficient of variation)

표준편차는 자료의 절대적 변이성을 측정하는 것이므로, 경우에 따라서는 상대적 변이성을 구할 필요가 있다. 변동계수란 표준편차의 평균에 대한 비율을 %로 나타낸 것이다.

[eqn: c.v```=` {sigma } over {mu } TIMES 100%]        [eqn: c.v```=` {s} over {bar{X}} TIMES 100%]

3. 비대칭도, 歪度(skewness) : degree of distortion from symmetry distribution

비대칭도란 자료가 대칭분포(symmetrical distribution)에서 얼마나 벗어나 있는가를 측정하는 것이다. 이를 위해서 평균, 중앙치, 최빈치를 비교하는 방법이 있다.

정규분포

피어슨의 비대칭계수(Pearson's coefficient of skewness)를 이용하여 비대칭도를 수치로 나타낸다.

[eqn: C.S```=` {3( mu -m _{e} )} over {sigma } CONG {mu -m _{o}} over {sigma }]

[eqn: C.S``=`` {3( bar{X} `-`m _{e} `)} over {s}]

대칭분포이면 [eqn: bar{X} =m _{e} ``]이므로 [eqn: C.S``=`0``]이 될 것이며, 왼쪽 꼬리 긴 분포일 때는 [eqn: bar{X} `<`m _{e} ``]이므로 [eqn: C.S``<``0``]이고, 오른쪽 꼬리 긴 분포의 경우에는 [eqn: C.S``>``0``]이 될 것이다.

4. 尖度(kurtosis) : Peakness of the distribution

첨도란 분포도가 얼마나 중심에 집중되어 있는가, 즉 분포의 중심이 얼마나 뾰쪽한가를 측정하는 것이다. 첨도는 正規分布(normal distribution)를 기준으로 해서 상대적으로 평가한다.

[eqn: m=m _{e} =m _{o}]                          [eqn: m```m _{e} ``m _{o}]           [eqn: m _{o} ``m _{e} ``m]

Q.1 : 다음의 자료를 보고 물음에 답하라.

어느 수퍼마켓 일일 매출액(단위: 백만원)이 다음과 같다:

원자료:  31, 44, 36, 47, 33, 38, 37, 41, 39, 36.

도수분포표를 작성하면;

매출액	도수	누적도수
30~34.99	2	2
35~39.99	5	7
40~44.99	2	9
45~49.99	1	10
계	10

1) 산술평균:

원자료 : [eqn: bar{X} = sum _{} ^{} X _{i} /n=382/10=38.2]

묶은자료 : [eqn: bar{X} =[(32.5 TIMES 2)+(37.5 TIMES 5)+(42.5 TIMES 2)+(47.5 TIMES 1)]/10=38.5]

* 구간 크기에 따라 계산결과 달라짐. 구간 갯수  -> 원자료 정리 간편 -> 평균값의 정확성

2) 중앙치 : 원자료  [eqn: M _{e} =(37+38)/2=37.5:] 관측치크기순 나열 50% 분기점에 해당.

묶은자료  [eqn: M _{e} =38] :  [eqn: M _{e} =35+( {3} over {5} ) TIMES 5=38]

□□□□□□□             이상치(outlier) 존재 시 중앙치와 평균에 큰 차이발생.

□   □ □

□ 3 □2□

□□□□□□   □ □□□□□□

□  2 □   □ □ 2  □□□-□□

□□□□□□□□□38□□□□□□□□□1□□□□

30   35    40   45   50

3) 최빈치 : 원자료  [eqn: M _{o} =36]

* Geometric Interpretation of  Mean, Median and Mode :

* K. Pearson : 경험적 사실에 근거한 근사치 공식, [eqn: mu -M _{o} CONG 3( mu -M _{d} )]

Q. 2 : 예를 들어 두 집단 A, B의 점수가 다음과 같다고 하자:

구분						Range	Mean
집단 A	60	60	60	60	40	20	56
집단 B	40	40	50	60	60	20	50

1) 범위 (Range) : [eqn: X _{max} -X _{min} =60-40=20]  두 집단 산포도 비교 곤란

2) 분산 (Variance) : 원 자료

[eqn: 분산A=[(60-56) ^{2} +(60-56) ^{2} +(60-56) ^{2} +(60-56) ^{2} +(40-56) ^{2} ]/5=52]

[eqn: 분산B=[(40-50) ^{2} +(40-50) ^{2} +(50-50) ^{2} +(60-50) ^{2} +(60-50) ^{2} ]/5=80]

위 자료가 표본이라면  [eqn: 분산= {sum _{} ^{} (X _{i} - bar{X} ) ^{2}} over {n-1}] 공식을 이용.

3) 표준편차 (standard deviation)

한편, 위의 매출액의 예에서 보면 원 자료의 경우 :

[eqn: sqrt {(31-38.2) ^{2} +..........+(47-38.2) ^{2} /9} = sqrt {23.28} =4.825].

묶은 자료의 경우:

[eqn: sqrt {[(32.5-38.5) ^{2} TIMES 2+(37.5-38.5) ^{2} TIMES 5+.....+(47.5-38.5) ^{2} TIMES 1]/9} = sqrt {21.11} =4.59.]

(식 1) 모분산: [eqn: sigma ^{2} = {1} over {N} sum _{i=1} ^{N} (X _{i} - mu ) ^{2} = bar{X ^{2}} - mu ^{2}]

[eqn: sigma ^{2} = {1} over {N} sum _{} ^{} (X ^{2} -2X mu + mu ^{2} )= {1} over {N} sum _{} ^{} X ^{2} -(2 mu ) {1} over {N} sum _{} ^{} X+ {1} over {N} (N mu ^{2} )][eqn: = 1 over N SUM X sup 2 - mu sup 2 = bar X sup 2 - mu sup 2]

if [eqn: Y _{i} =(X _{i} -k)],  [eqn: k=constant],   then [eqn: {1} over {N} sum _{} ^{} Y ^{2} -( bar{Y} ) ^{2} = {1} over {N} sum _{} ^{} X ^{2} - mu ^{2}].

(식 2) [eqn: sigma ^{2} = {1} over {N} sum _{i=1} ^{k} (X _{i} - mu ) ^{2} f _{i} = sum _{i=1} ^{k} (X _{i} - mu ) ^{2} ( {f _{i}} over {N} )];    [eqn: X _{i} =] 각 구간의 대표치 (class mark)

(식 3) [eqn: sigma ^{2} = {1} over {N} sum _{i=1} ^{k} (d _{f _{i}} )} - ( bar{d} ) ^{2} i} ^{2}],     [eqn: d _{i} =(X _{i} -X ^{*} )]; [eqn: X ^{*} =]假平均(assumed, guessed mean)

(식 4) [eqn: sigma ^{2} =[ {1} over {N} sum _{i=1} ^{k} u _{f _{i}} -( bar{u} ) ^{2} ] w ^{2} i} ^{2}]    [eqn: u _{i} = {d _{i}} over {w} = {X _{i} -X ^{*}} over {w}]    [eqn: w=] 구간 폭(width)

p.6의 <문제 1>에 대해 여러 가지 중심경향치와 산포도를 각각 구하라.